一位数学家解决了数学和计算机科学之间的一个30年的难题。他使用了一个创新的,优雅的证明,让他的同事惊叹于它的简单。
亚特兰大埃默里大学(Emory University)的数学助理教授黄浩(Hao Huang,音译)证明了一个被称为“灵敏度猜想”(sensitivity猜想)的数学概念。该概念以令人难以置信的粗略措辞,提出了在不改变输出(这是其灵敏度)的情况下,可以在多大程度上改变一个函数的输入。
自从数学家们第一次提出灵敏度猜想(没有证明它)以来的几十年里,理论计算机科学家们意识到它对确定处理信息的最有效方法有着巨大的影响。
该领域的其他专家认为,黄的证明之所以引人注目,不仅在于他成功了,还在于他优雅而直接的方式。他的证明没有经过正式的同行评审,也没有发表在任何数学杂志上。但在7月1日黄把它放到网上后不久,他的同事们很快就接受了这个事实。
德克萨斯大学奥斯汀分校的理论计算机科学家斯科特·阿隆森在他的博客中写道:“每当有这样的公告,99%的情况下,要么证明是错的,198彩票开户请认准官方唯一直属总代团队1号团队,免费开户即可领取注册彩金,下载客户端可以申请198彩挂机软件,申请198彩票代理权限,只要你有量,我们绝不亏待你,只有198彩才能让你白手起家,0投入却可以
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匹兹堡卡耐基梅隆大学(Carnegie Mellon University)研究数论的计算机科学教授瑞安·奥唐纳(Ryan O'Donnell)指出,黄的证明可以用一条推文来概括:
郝Huang@Emory:
例1:∃edge-signing n立方体的2 ^ {n} eigs每个+ / -√(n)
任何与>2^{n-1} vtcs的诱导子图最大eig >= sqrt(n)
例2:在子图中,max eig <= max valency,即使有符号
因此[GL92]灵敏度Conj, s(f) >= sqrt(deg(f))
黄到底证明了什么?
为了简单起见,设想一个边长各为1单位的三维立方体。如果你把这个立方体放到一个三维坐标系中(意味着它有三个方向的测量值),一个角的坐标是(0,0,0),它旁边的一个可能是(1,0,0),上面的一个可能是(0,1,0),198娱乐代理前天跟我说可以按量升点,我以为忽悠人的
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希伯莱大学的数学家吉尔·卡莱说,“敏感性猜想”是指当你取一个高维立方体或超立方体的一半以上的角时,你会有多少个邻居。你可以把超立方体的坐标写成1和0的字符串,其中维数就是字符串的长度,Kalai告诉Live Science。例如,对于4D超立方体,有16个不同的点,这意味着有16个不同的1和0组成的四位数字符串。
现在在超立方体上选择1 / 2 +1个点(对于4D超立方体,这意味着从16个点中选择9个或8+1个不同的点)。
从这个更小的集合中,找出邻居最多的点——它能拥有的最小邻居数是多少?邻居之间只有一个数字之差。例如,1111和1110是相邻的,因为你只需要交换一个数字就可以把第一个数字变成第二个数字。
黄证明了这个角的邻边数至少等于数字数的平方根——在这个例子中,是4的平方根——也就是2。
对于低维度,你可以通过检查来判断这是正确的。例如,为邻居检查立方体上的16个坐标(或“字符串”)并不困难。但是每次向多维数据集添加一个维度时,字符串的数量就会加倍。所以这个问题很难很快地检查出来。
一组长度为30位的字符串——一个30维立方体边角的坐标——包含了超过10亿个不同的字符串,这意味着这个立方体有超过10亿个边角。如果字符串有200位数字长,那么它的长度超过11 / 10。也就是10亿亿亿亿亿,或者说1后面有60个0。
这就是数学家喜欢证明的原因:他们证明在任何情况下都是正确的,而不仅仅是简单的情况。
卡拉伊说:“如果n等于100万,这意味着我们有长度为100万的字符串,那么我们的推测是,如果你把2的100万到1次方加1,那么有1000个相邻的字符串,也就是100万的平方根。”
Kalai说,灵敏度猜想的最后一次重大进展是在1988年,当时研究人员证明了一根弦至少有n个邻居的对数。这个数字要小得多;1,000,000的对数是6。所以黄的证据只是发现至少有994个邻居在那里。
一个优雅而“神秘”的证明
“这很神秘,”卡莱谈到黄的证据时说。“它使用了‘光谱法’,这在数学的许多领域都是非常重要的方法。但它以一种新颖的方式使用光谱方法。它仍然是神秘的,但我认为我们可以期待这种使用光谱方法的新方法将逐渐有更多的应用。”
本质上,黄用行和列的数字数组(称为矩阵)概念化了超立方体。黄亚伦在他的博客中写道,他想出了一种完全意想不到的方法来处理一个由不同寻常的-1和1组成的矩阵,这种方法“神奇地让一切运转起来”。
黄“采用了这个矩阵,并以一种非常巧妙和神秘的方式对它进行了修改,”卡莱说。“这就像你有一个管弦乐队,他们演奏一些音乐,然后你让一些演奏者,我不知道,倒立,音乐就完全不同了——就像这样。”
卡莱说,不同的音乐是证明这个猜想的关键。他说,这很神秘,因为即使数学家们知道为什么这种方法在这种情况下有效,他们也不能完全理解这种新的“音乐”,或者在其他什么情况下它可能有用或有趣。
“30年来,没有任何进展,后来黄浩解决了这个问题,他找到了一个非常简单的证据,证明答案是n的平方根,”卡拉伊说。“但在这30年里……人们意识到这个问题在计算理论中非常重要。”
卡莱说,黄的证明令人兴奋,因为它推动了计算机科学领域的发展。但它也值得注意,因为它引入了一种新的方法,数学家们仍然不确定黄的新方法还能让他们完成什么。